Un enunciado es una sucesión de palabras que tiene algún significado. Obviamente este es un concepto intuitivo y dependiente de un lenguaje previamente establecido. De todas maneras es importante notar que aunque no este definido en forma precisa qué es un enunciado, como objeto es una mera sucesión de palabras. Algunos ejemplos:
adhocprefix-adhocsufix Que bonito
adhocprefix-adhocsufix Llueve
adhocprefix-adhocsufix Cuatro es mayor que cero
adhocprefix-adhocsufix \(x^{2}\leq y^{2}\)
adhocprefix-adhocsufix Ser o no ser
adhocprefix-adhocsufix Te gusto el postre?
adhocprefix-adhocsufix Hay un \(x\) que supera a todas las cantidades
adhocprefix-adhocsufix \(a^{2}+b^{2}=r^{2}\)
Un enunciado matemático es un enunciado que tiene significado matemático, está escrito en forma precisa y es ya sea verdadero o falso. Por supuesto hay muchos enunciados matemáticos para los cuales el ser humano aún no ha sido capaz de averiguar si es verdadero o falso pero ellos están escritos en forma precisa y además nadie duda que cada uno de ellos es ya sea verdadero o falso. Manejaremos el concepto de enunciado matemático en forma intuitiva, es decir no daremos una definición matemática del mismo. De todas maneras con ejemplos iremos acuñando dicho concepto y esto nos servirá para volver más rigurosa nuestra escritura y para estar, al final de un largo proceso, más cerca de la posibilidad de dar una definición matemática del lenguaje matemático cotidiano. Pero ojo para aquellos que tienen un espíritu más filosófico: no estamos intentando hacer fundamentos de la matemática, simplemente estamos desarrollando ciertos temas de la matemática poniendo un poco de atención en nuestro lenguaje e intentando que el mismo sea más preciso. La cualidad clave de los enunciados matemáticos es la precisión y en lo que sigue iremos describiendo con ejemplos cuando un enunciado está escrito en forma precisa y cuando no.
adhocprefix(1)adhocsufix Un típico enunciado impreciso es uno que describe un objeto con cierta ambigüedad o sin la precisión deseada. Por ejemplo:
adhocprefix-adhocsufix La función \(x+1\) es inyectiva
Aquí \(x+1\) denota supuestamente una función pero esto es ambiguo ya que no queda claro cual es el dominio de dicha función. Otro caso de imprecisión por ambiguedad
adhocprefix-adhocsufix El número \(1/5/9\) es menor que \(0,001\)
Aquí no es claro que número denota \(1/5/9\) ya que \((1/5)/9\neq1/(5/9)\).
adhocprefix()adhocsufix Un típico enunciado impreciso es uno en el cual interviene un objeto no previamente definido. Por ejemplo:
adhocprefix-adhocsufix \(1/0\geq100000\)
Es claro que en este apunte no hemos definido \(1/0\), es decir \(1/0\) no denota ningún objeto matemático para nosotros. Otro ejemplo de este tipo de imprecisión es:
adhocprefix-adhocsufix Si \(\Sigma\) es un alfabeto y \(\alpha,\beta,\gamma\in\Sigma^{\ast}\), entonces \(\alpha^{\beta\gamma}=(\alpha^{\beta})^{\gamma}\)
dado que en este apunte no se define la exponenciación de palabras con exponente alfabético.
adhocprefix(5)adhocsufix Otro tipo de imprecisión se da cuando usamos una notación fuera del alcance en el que fue definida. Ejemplos:
adhocprefix-adhocsufix El enunciado \[1\in1\]
es impreciso ya que la pertenencia solo esta definida respecto de un conjunto y \(1\) no es un conjunto. Es decir expresiones del tipo \(E_{1}\in E_{2}\) podrán ser escritas si y solo si la expresión \(E_{2}\) denota un conjunto y la expresión \(E_{1}\) denota cualquier objeto matemático (no necesariamente un conjunto).
adhocprefix-adhocsufix Una expresión del tipo \(E_{1}\subseteq E_{2}\) podrá ser escrita si y solo si las expresiones \(E_{1}\) y \(E_{2}\) denotan conjuntos. O sea que por ejemplo un enunciado en el que aparece la expresión \(1\subseteq\omega\) será impreciso.
adhocprefix-adhocsufix Una expresión del tipo \(E_{1}=E_{2}\) podrá ser escrita si y solo si las expresiones \(E_{1}\) y \(E_{2}\) denotan objetos matemáticos cualesquiera. O sea que por ejemplo el enunciado \[0=\mathbf{N}\] es preciso (y falso).
adhocprefix-adhocsufix El enunciado \[\text{Si }f:\omega\times\Sigma^{\ast}\rightarrow\omega\text{ es una funcion}\text{inyectiva, entonces }f|_{\omega}\text{ es }\text{inyectiva}\]
es impreciso ya que solo hemos definido \(f|_{S}\) cuando \(S\) es un subconjunto del dominio de \(f\) por lo cual no queda claro o preciso que objeto denota la expresión \(f|_{\omega}\).
adhocprefix-adhocsufix \(Suc(1/2)=3/2\)
adhocprefix-adhocsufix \(Suc(r)\geq r\), para cada \(r\in\mathbf{R}\)
adhocprefix-adhocsufix Para cada \(x\in\omega\) se tiene que \(Pred(x)\leq x\)
adhocprefix-adhocsufix Dada una función inyectiva \(f:A\rightarrow B\) se tiene que \(f^{-1}\) es inyectiva
adhocprefix-adhocsufix Dada una función \(f:A\rightarrow B\) se tiene que \(f^{-1}:B\rightarrow A\)
adhocprefix-adhocsufix Dada una función \(f\) se tiene que \(f^{-1}\) es biyectiva
adhocprefix-adhocsufix Dada una función \(f\) se tiene que \(f\circ f^{-1}=f^{-1}\circ f\)
adhocprefix-adhocsufix Dada una función \(f\) se tiene que \((f^{-1})^{-1}=f\)
adhocprefix-adhocsufix Dada una función \(f:A\rightarrow B\) se tiene que \(D_{f^{-1}}=B\)
es impreciso ya que el dominio de la función \(Suc\) es \(\omega\) por lo cual \(Suc(r)\) no está definido siempre que \(r\in\mathbf{R}\)
Si \(\mathcal{P}\) es un programa de \(\mathcal{S}^{\Sigma}\), entonces \(I_{\mathcal{P}}\) es \(\Sigma\)-enumerable
Si bien podríamos dar una definición razonable de imagen de un programa bajo la cual el enunciado seria verdadero, para nosotros sera un enunciado impreciso ya que no hemos definido \(I_{\mathcal{P}}\) cuando \(\mathcal{P}\) es un programa (solo \(I_{f}\) esta definido cuando \(f\) es una función).
adhocprefix-adhocsufix \(1\in\{1/x:x\in\omega\}\)
adhocprefix-adhocsufix \(x.(1/x)=1\), para cada \(x\in\omega\)
adhocprefix-adhocsufix \(\{Pred(x):x\in\omega\}=\omega\)
Claramente este enunciado es impreciso ya que
adhocprefix(6)adhocsufix Tambien consideraremos imprecisos los enunciados que usen una notación con alguna ligera alteración que la vuelve confusa. Por ejemplo
adhocprefix-adhocsufix \(\{n,m:n\leq m\}\subseteq\omega^{2}\)
adhocprefix-adhocsufix \(\{n\in\omega\) y \(\alpha\in\Sigma^{\ast}:[\alpha]_{n}=[\alpha]_{n+1}\}\subseteq\omega\times\Sigma^{\ast}\)
adhocprefix-adhocsufix \(\left\langle (x,y,\alpha)\in\omega^{2}\times\Sigma^{\ast}:x+y+\left\vert \alpha\right\vert =2323\right\rangle\) es un conjunto \(\Sigma\)-mixto
adhocprefix(7)adhocsufix Es importante notar que cuando decimos que un enunciado es impreciso nos estamos refiriendo a imprecisiones de su sintaxis y no en su contenido matemático. Por ejemplo el enunciado \[\pi=3,14159265\] podría considerarse impreciso ya que presenta una aproximación no exacta al numero \(\pi\) pero lo consideraremos falso ya que sintácticamente es un enunciado correctamente escrito, el cual simplemente dice una falsedad ya que si bien son bastante parecidos, el numero \(\pi\) no es igual al numero \(3,14159265\). Aquí hay que entender que para los enunciados usaremos el adjetivo impreciso en el sentido de la corrección y precisión matemática de su escritura y no en el sentido de cuan verdadero es.
En general en nuestro lenguaje matemático utilizamos diversas expresiones las cuales involucran variables que una vez fijadas en sus valores hacen que la expresión también represente un determinado valor u objeto matemático. Veamos algunos ejemplos
adhocprefix(2)adhocsufix La expresión: \[x+y+1\] tiene dos variables (\(x\) e \(y\)). Si le asignamos a \(x\) el valor 2 y a \(y\) el valor 45, entonces la expresión \(x+y+1\) produce o representa el valor \(48\) (\(=2+45+1\)).
adhocprefix(3)adhocsufix La expresión \[\alpha^{x}\] tiene dos variables (\(x\) y \(\alpha\)). Si le asignamos a \(x\) el valor \(2\) y a \(\alpha\) el valor \(@@\%\%\%\) entonces la expresión \(\alpha^{x}\) produce o representa el valor \(@@\%\%\%@@\%\%\%\) (\(=(@@\%\%\%)^{2}\)).
adhocprefix(4)adhocsufix La expresión \[\text{el mayor primo menor que }x^{4}\] tiene una sola variable (\(x\)). Si le asignamos a \(x\) el valor 2, entonces esta expresión produce o representa el valor \(13\) ya que \(13\) es el mayor número primo menor que \(2^{4}\) (\(=16\)).
adhocprefix(4)adhocsufix La expresión \[\{x,Suc\}\times\{y\}\] tiene dos variables (\(x\) e \(y\)). Si le asignamos a \(x\) el valor 2 y a \(y\) el valor \(20\) entonces esta expresión produce o representa el conjunto \(\{(2,20),(Suc,20)\}\) (\(=\{2,Suc\}\times\{20\}\)).
A este tipo de expresiones las llamaremos expresiones matemáticas ya que representan objetos matemáticos cuando asignamos valores a sus variables. No definiremos en forma precisa el concepto de expresión matemática pero debería quedar claro que como objeto matemático una expresión matemática es simplemente una sucesión de palabras. Para seguir robusteciendo el concepto de expresión matemática daremos algunas de sus características principales.
adhocprefix(4)adhocsufix Por lo general en una expresión matemática ocurren variables, i.e. símbolos que ulteriormente podrán ser valuados con objetos matemáticos concretos y de esta forma lograr que la expresión represente un objeto matemático concreto. Sin embargo hay expresiones matemáticas en las cuales no ocurren variables dado que ellas representan directamente un objeto matemático concreto. Ejemplos
1
100
\(\text{el mayor número primo perteneciente a }\{1,2,...,100\}\)
\(5^{4}+347+6^{100}\)
\(Suc\)
\(\mathbf{N}\times\omega\)
\(@^{20}!^{100}\)
\(Suc\circ Pred\)
\((Suc\circ Pred)(5+6+7+11^{100})\)
adhocprefix(4)adhocsufix Si \(E\) es una expresión matemática no siempre que le asigne valores a sus variables la expresión \(E\) representará un objeto matemático en forma precisa. Ejemplos
La expresión matemática \[1/x\]
cuando le asignamos a \(x\) el valor \(0\) no representa ningún objeto matemático.
La expresión matemática \[Pred(x+y+5)\]
cuando le asignamos a \(x\) el valor \(-17\) y a \(y\) el valor \(2\) no representa ningún objeto matemático ya que \(Pred\) no esta definida en \(-10\).
100
\(\text{el mayor número primo perteneciente a }\{1,2,...,100\}\)
\(5^{4}+347+6^{100}\)
\(Suc\)
Por ejmploy todas sus variables están contenidas en la lista \(x_{1},...,x_{n}\), entonces puede suceder que para cierta
ítems con mas ejmplosmas ejemplos sobre los cuales iremos viendo los distintos matices de dicho concepto.