Un enunciado matemático es un enunciado que tiene significado matemático, está escrito en forma precisa y es ya sea verdadero o falso. Por supuesto hay muchos enunciados matemáticos para los cuales el ser humano aún no ha sido capaz de averiguar si es verdadero o falso pero ellos están escritos en forma precisa y además nadie duda que cada uno de ellos es ya sea verdadero o falso. Por ejemplo si \(E\) es el enunciado matematico que expresa en forma precisa que \(P=NP\), sabemos que aun el ser humano no ha podido determinar si \(E\) es cierto o no, aunque nadie duda que \(E\) es veradero o es falso. Manejaremos el concepto de enunciado matemático en forma intuitiva, es decir no daremos una definición matemática del mismo. De todas maneras es importante notar que aunque no este definido en forma precisa un enunciado matematico, como objeto es una mera sucesión de palabras. Mediante ejemplos iremos acuñando dicho concepto y esto nos servirá para volver más rigurosa nuestra escritura y para estar, al final de un largo proceso, más cerca de la posibilidad de dar una definición matemática del lenguaje matemático cotidiano. Pero ojo para aquellos que tienen un espíritu más filosófico: no estamos intentando hacer fundamentos de la matemática, simplemente estamos desarrollando ciertos temas de la matemática poniendo un poco de atención en nuestro lenguaje e intentando que el mismo sea más preciso.
La cualidad clave de los enunciados matemáticos es la precisión y en lo que sigue iremos describiendo con ejemplos cuando un enunciado está escrito en forma precisa y cuando no.
adhocprefix(1)adhocsufix Un típico enunciado impreciso es uno que describe un objeto con cierta ambigüedad o sin la precisión deseada. Por ejemplo:
adhocprefix-adhocsufix La función \(x+1\) es inyectiva
Aquí \(x+1\) denota supuestamente una función pero esto es ambiguo ya que no queda claro cual es el dominio de dicha función. Otro caso de imprecisión por ambiguedad
adhocprefix-adhocsufix El número \(1/5/9\) es menor que \(0,001\)
Aquí no es claro que número denota \(1/5/9\) ya que \((1/5)/9\neq1/(5/9)\).
adhocprefix()adhocsufix Un típico enunciado impreciso es uno en el cual interviene un objeto no previamente definido. Por ejemplo:
adhocprefix-adhocsufix \(1/0\geq100000\)
Es claro que en este apunte no hemos definido \(1/0\), es decir \(1/0\) no denota ningún objeto matemático para nosotros. Otro ejemplo de este tipo de imprecisión es:
adhocprefix-adhocsufix Si \(\Sigma\) es un alfabeto y \(\alpha,\beta,\gamma\in\Sigma^{\ast}\), entonces \(\alpha^{\beta\gamma}=(\alpha^{\beta})^{\gamma}\)
dado que en este apunte no se define la exponenciación de palabras con exponente alfabético.
adhocprefix(5)adhocsufix Otro tipo de imprecisión se da cuando usamos una notación fuera del alcance en el que fue definida. Ejemplos:
adhocprefix-adhocsufix El enunciado \[1\in1\]
es impreciso ya que la pertenencia solo esta definida respecto de un conjunto y \(1\) no es un conjunto. Es decir expresiones del tipo \(E_{1}\in E_{2}\) podrán ser escritas si y solo si la expresión \(E_{2}\) denota un conjunto y la expresión \(E_{1}\) denota cualquier objeto matemático (no necesariamente un conjunto).
adhocprefix-adhocsufix Una expresión del tipo \(E_{1}\subseteq E_{2}\) podrá ser escrita si y solo si las expresiones \(E_{1}\) y \(E_{2}\) denotan conjuntos. O sea que por ejemplo un enunciado en el que aparece la expresión \(1\subseteq\omega\) será impreciso.
adhocprefix-adhocsufix Una expresión del tipo \(E_{1}=E_{2}\) podrá ser escrita si y solo si las expresiones \(E_{1}\) y \(E_{2}\) denotan objetos matemáticos cualesquiera. O sea que por ejemplo el enunciado \[0=\mathbf{N}\] es preciso (y falso).
adhocprefix-adhocsufix El enunciado \[\text{Si }f:\omega\times\Sigma^{\ast}\rightarrow\omega\text{ es una funcion}\text{inyectiva, entonces }f|_{\omega}\text{ es }\text{inyectiva}\]
es impreciso ya que solo hemos definido \(f|_{S}\) cuando \(S\) es un subconjunto del dominio de \(f\) por lo cual no queda claro o preciso que objeto denota la expresión \(f|_{\omega}\).
adhocprefix-adhocsufix \(Suc(1/2)=3/2\)
adhocprefix-adhocsufix \(Suc(r)\geq r\), para cada \(r\in\mathbf{R}\)
adhocprefix-adhocsufix Para cada \(x\in\omega\) se tiene que \(Pred(x)\leq x\)
adhocprefix-adhocsufix Dada una función inyectiva \(f:A\rightarrow B\) se tiene que \(f^{-1}\) es inyectiva
adhocprefix-adhocsufix Dada una función \(f:A\rightarrow B\) se tiene que \(f^{-1}:B\rightarrow A\)
adhocprefix-adhocsufix Dada una función \(f\) se tiene que \(f^{-1}\) es biyectiva
adhocprefix-adhocsufix Dada una función \(f\) se tiene que \(f\circ f^{-1}=f^{-1}\circ f\)
adhocprefix-adhocsufix Dada una función \(f\) se tiene que \((f^{-1})^{-1}=f\)
adhocprefix-adhocsufix Dada una función \(f:A\rightarrow B\) se tiene que \(D_{f^{-1}}=B\)
es impreciso ya que el dominio de la función \(Suc\) es \(\omega\) por lo cual \(Suc(r)\) no está definido siempre que \(r\in\mathbf{R}\)
Si \(\mathcal{P}\) es un programa de \(\mathcal{S}^{\Sigma}\), entonces \(I_{\mathcal{P}}\) es \(\Sigma\)-enumerable
Si bien podríamos dar una definición razonable de imagen de un programa bajo la cual el enunciado seria verdadero, para nosotros sera un enunciado impreciso ya que no hemos definido \(I_{\mathcal{P}}\) cuando \(\mathcal{P}\) es un programa (solo \(I_{f}\) esta definido cuando \(f\) es una función).
adhocprefix-adhocsufix \(1\in\{1/x:x\in\omega\}\)
adhocprefix-adhocsufix \(x.(1/x)=1\), para cada \(x\in\omega\)
adhocprefix-adhocsufix \(\{Pred(x):x\in\omega\}=\omega\)
Claramente este enunciado es impreciso ya que
adhocprefix(6)adhocsufix También consideraremos imprecisos los enunciados que usen una notación con alguna ligera alteración que la vuelve confusa. Por ejemplo
adhocprefix-adhocsufix \(\{n,m:n\leq m\}\subseteq\omega^{2}\)
adhocprefix-adhocsufix \(\{n\in\omega\) y \(\alpha\in\Sigma^{\ast}:[\alpha]_{n}=[\alpha]_{n+1}\}\subseteq\omega\times\Sigma^{\ast}\)
adhocprefix-adhocsufix \(\left\langle (x,y,\alpha)\in\omega^{2}\times\Sigma^{\ast}:x+y+\left\vert \alpha\right\vert =2323\right\rangle\) es un conjunto \(\Sigma\)-mixto
adhocprefix(7)adhocsufix Es importante notar que cuando decimos que un enunciado es impreciso nos estamos refiriendo a imprecisiones de su sintaxis y no en su contenido matemático. Por ejemplo el enunciado \[\pi=3,14159265\] podría considerarse impreciso ya que presenta una aproximación no exacta al numero \(\pi\) pero lo consideraremos falso ya que sintácticamente es un enunciado correctamente escrito, el cual simplemente dice una falsedad ya que si bien son bastante parecidos, el numero \(\pi\) no es igual al numero \(3,14159265\). Aquí hay que entender que para los enunciados usaremos el adjetivo impreciso en el sentido de la corrección y precisión de su escritura y no en el sentido de cuan verdadero es.
Para seguir perfeccionando nuesto concepto de enunciado matematico nos sera util otro concepto muy relacionado, a saber, el de expresion matemática, el cual desarrollaremos a continuacion.
A este tipo de expresiones las cuales poseen variables y para ciertas asignaciones de objetos matematicos representan en forma precisa un objeto matematico las llamaremos expresiones matemáticas. No definiremos en forma precisa el concepto de expresión matemática pero debería quedar claro que como objeto matemático una expresión matemática es simplemente una sucesión de palabras. Seguiremos dando ejemplos y caracteristicas de las expresiones matematicas con la finalidad de hacer mas fino y preciso el manejo de este concepto.
adhocprefixadhocsufix Asumiremos que siempre hay al menos una asignacion de objetos matematicos a las variables para la cual la expresion representa o denota en forma precisa un objeto matematico. Por ejemplo \[\{x,y\}+1\] A esta expresion NO la consideraremos una expresion matematica ya que independientemente de que objetos le asignemos a \(x\) e \(y\) nunca representa en forma precisa a un objeto ya que no hemos definido en nuestro apunte que significa matematicamente sumarle \(1\) a un conjunto.
adhocprefixadhocsufix Aceptaremos como expresion matemática a una expresion en la cual no ocurren variables y la cual representa directamente un objeto matemático concreto. Ejemplos
\(1\)
\(100\)
\(\text{el mayor número primo perteneciente a }\{1,2,...,100\}\)
\(5^{4}+347+6^{100}\)
\(Suc\)
\(\mathbf{N}\times\omega\)
\(@^{20}!^{100}\)
\(Suc\circ Pred\)
\((Suc\circ Pred)(5+6+7+11^{100})\)
El unico requisito (para ser coherentes con el punto anterior) para que la consideremos como expresion matematica es que al objeto que representa lo describa en forma precisa y sin ambiguedades. Por ejemplo \[5/6/9\] no representa en forma precisa un objeto matematico ya que aunque interpretemos \(/\) como la division, no esta claro en que orden realizar las divisiones y no es lo mismo \((5/6)/9\) que \(5/(6/9)\). O sea que la palabra \(5/6/9\) no es una expresion matematica. Otro ejemplo es la palabra \[Pred(0)\] la cual no es una expresion matematica ya que no representa o denota ningun objeto matematico.
adhocprefix(4)adhocsufix La expresion \[Im(f)\] tiene una sola variable (i.e. \(f\)) y cuando le asignamos a \(f\) una funcion ella representa un objeto matematico en forma precisa, a saber la imagen de dicha funcion. Si le asignamos a \(f\) el numero \(100\) entonces dicha expresion no representa o produce un objeto matematico. Para la matematica desarrollada en nuestro apunte usamos la notacion \(Im(f)\) solo cuando \(f\) es una funcion por lo cual para nosotros la expresion \(Im(f)\) representara un objeto solo cuando a \(f\) le asignamos una funcion. Si en nuestro enfoque matematico hubieramos definido \(Im(r)\) cuando \(r\) es una relacion binaria cualquiera, entonces la expresion \(Im(f)\) representara un objeto cuando a \(f\) le asignamos una relacion binaria.
Si \(E\) es una expresión matemática no siempre que le asigne valores a sus variables la expresión \(E\) representará un objeto matemático en forma precisa. Ejemplos
La expresión matemática \[1/x\]
cuando le asignamos a \(x\) el valor \(0\) no representa ningún objeto matemático.
La expresión matemática \[Pred(x+y+5)\]
cuando le asignamos a \(x\) el valor \(-17\) y a \(y\) el valor \(2\) no representa ningún objeto matemático ya que \(Pred\) no esta definida en \(-10\).